당신의 월급은 대한민국 평균이십니까?

평균의 달콤한 속임수

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‘평균’은 우리가 일상에서 늘 사용하는 익숙한 개념이다. 아이들의 평균 성적을 계산하고, 내비게이션 장치는 평균 속도 얼마로 운행했는지 알려준다. 이처럼 여러 양들을 대표하는 하나의 양을 원할 때 평균을 사용한다. 그러면서 평균이 그 양들을 충실히 대표한다고 여긴다. 그러나 평균이 한 집단에서 중간쯤 되는 대표라고 생각하는 것은 옳지 않다.

“노조위원장이 그러는데 우리 회사 직원들의 급여가 너무 적다는군요.”

코와 입가 사이에 깊게 파인 주름, 간헐적으로 불거지는 턱 근육, 묘하게 움푹 들어간 미간. 바우너 전자 회사의 소유주 막스 바우너가 곤경에 처했다. 대장이 힘이 빠지면 대장의 애마가 힘을 내어 꼬리를 흔들어야 하는 법이다. 뷔르머 사장은 애써 미소를 지으며 대꾸한다.

“제가 보기에 우리 회사의 급여는 아주 후하고 어느 모로 보나 만족스럽습니다.”

“노조위원장의 생각은 달라요. 세금을 떼기 전의 우리 회사 20명 직원들의 급여가 2850유로래요. 평균이 그렇답니다. 당신은 우리 회사의 급여가 충분히 만족스럽다는 입장이신데, 혹시 동종 업계의 평균 급여가 얼마인지 아십니까? 3000유로입니다. 나는 임금을 박하게 준다는 욕을 먹고 싶지 않아요.”

“이러면 어떨까요? 다른 직원들의 급여를 올리면 각종 보험료 등도 같이 올려줘야 하니까 부담이 만만치 않습니다. 하지만 저한테는 이런 저런 보험료를 더 줄 필요가 없습니다. 그러니 제 월급을 3000유로 인상하는 거예요. 그러면 전체적으로 평균 급여가 3000유로로 올라갑니다. 이것이야말로 숫자놀음 좋아하는 노조위원장을 숫자로 물리치는 묘수가 아니겠습니까?”


평균이 알려주는 것


‘평균’은 우리가 일상에서 늘 사용하는 익숙한 개념이다. 아이들의 평균 성적을 계산하고, 내비게이션 장치는 평균 속도 얼마로 운행했는지 알려준다. 이처럼 여러 양들을 대표하는 하나의 양을 원할 때 평균을 사용한다. 그러면서 평균이 그 양들을 충실히 대표한다고 여긴다. 그러나 평균이 한 집단에서 중간쯤 되는 대표라고 생각하는 것은 옳지 않다.


평균을 계산하라고 하면, 일반인은 주어진 값들을 모두 더한 다음 합을 그 값들의 개수로 나눈다. 이때 나오는 결과는 산술평균이다. 바우너 전자 회사의 평균 월급을 계산하려면, 전체 직원 20명의 월급을 다 더한 다음에 20으로 나누면 된다. 계산 결과는 2850유로이다. 그런데 이 회사의 ‘전형적인’ 직원이 그만큼을 벌까? 왼쪽 그래프를 보라. 월급이 가장 적은 직원부터 사장까지, 모든 직원을 월급 순으로 나열한 그래프다.

우선 확실한 것은 실제로 2850유로를 받는 직원은 한 명도 없다는 사실이다. 요컨대 ‘평균’ 직원은 존재하지 않는다. 그렇다면 평균은 ‘중간 가는’ 직원의 처지를 반영하기는 할까?

전혀 그렇지 않다. 전체 20명 중에서 15명이 평균보다 적은 월급을 받는다는 사실이 금세 눈에 들어온다. 요컨대 평균이 전체 집단을 대략 이등분하리라는 기대는 어리석다. 이런 문제는 산술평균이 특이한 값, 즉 평균을 크게 벗어난 값에 민감하게 좌우되기 때문에 발생한다. 가난한 마을에 엄청난 고소득자가 단 한 명이라도 있으면, 마을 주민의 평균 소득은 꽤 높을 수 있다. 이처럼 평균 소득은 ‘주민 일반’의 실제 소득 상황과 무관할 수도 있다.







<수식이 그리운 독자들을 위한 tip>

과연 평균값은 ‘평균’의 기능을 하지 못하는 것일까?
수학자들은 똑같은 값들을 놓고도 다양한 평균을 계산할 수 있다. 예컨대 산술평균, 기하평균, 조화평균, 중앙값이 있는데, 이들 중 어떤 것이 적합한지는 상황에 따라 다르다.




중앙값은 집단 전체의 사정을 더 잘 반영한다. 중앙값을 계산하려면, 말 그대로 군중 속으로 들어가 ‘중간 가는’ 대표자를 찾아야 한다. 그 ‘중앙 직원’은 전체 직원을 월급 순으로 나열했을 때 중간에 놓이는 직원이다. 바우너 전자 회사의 예에서 중앙값은 산술평균보다 훨씬 더 낮으며 전체 직원의 3/4이 처한 현실을 훨씬 더 잘 반영한다. 게다가 중앙값은 특이한 값들에 흔들리지 않는다. 사장 뷔르머의 월급이 오르면, 월급의 평균은 오르지만 중앙값은 변함없이 2250유로이다.


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수학 시트콤 크리스토프 드뢰서 저/전대호 역/이우일 그림 | 해나무

이 책은 공식을 발견하거나 이론을 정립한 수학자 이야기나 수학의 역사가 아니더라도 얼마든지 흥미진진하고 솔깃한 스토리텔링형 수학이 가능하다는 것을 보여준다. TV 드라마나 시트콤을 볼 때처럼 자신도 주인공과 함께 고민하게 하는 책이다. 소금물의 농도나 주사위의 확률 따위가 아닌 우리가 살아가면서 정말 궁금한 것들을 한 편 한 편의 실감나는 이야기로 재구성한다…

 



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글 | 크리스토프 드뢰서 Christoph Drosser

독일의 주간지 《디 차이트 Die Zeit》의 과학 담당 편집자로, 1997년부터 일상적인 속설에 관한 과학 칼럼 <맞아요? Stimmt’s?>를 연재했다. 이 칼럼은 책으로도 엮여 좋은 반응을 얻었으며, 현재 독일의 공영방송사 NDR의 라디오 프로그램으로 방송되고 있다. 드뢰서는 일상 속 수학을 다룬 《수학 시트콤 Der Mathematikverfuhrer》으로 독일에서 수학 신드롬을 일으켰으며, 2008년에 독일수학협회로부터 언론인상을 수상했다.

저서로는 《질문을 쏟아놓는 방법 Wie fragt man Locher in den Bauch?》 《무한도전 신비한 수학탐험 Wie groß ist unendlich?》 《일기예보, 믿을까 말까? Das Lexikon der Wetterirrtumer》(예르크 카헬만 공저) 《치마가 짧아지면, 경제는 성장한다 : 현대의 미신들 Wenn die Rocke kurzer werden, wachst die Wirtschaft. Die besten modernen Legenden》 《음악을 아세요? Hast du Tone?》 등이 있다.

수학 시트콤

<크리스토프 드뢰서> 저/<전대호> 역/<이우일> 그림12,000원(20% + 1%)

독일의 유명한 과학 칼럼니스트인 저자 크리스토프 드뢰서는 《수학 시트콤(원제 : Der Mathematikverf?hrer)》에서 드라마 같은 설정으로 우리의 시선을 사로잡고는 그 속에서 생각지도 못한 수학을 이끌어낸다. 원래 수학의 기초는 일상에서 비롯된 것! 수많은 수학 공식은 과거 언젠가 실용적인 문제들을 ..

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